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विभाज्यता या विभक्ति के नियम ( Rule for divisibility)

2 से विभक्त होने के नियमः 

यदि किसी संख्या का इकाई अंक 0 , 2 , 4 , 6 , 8 में से कोई हो, तो वह संख्या 2 से पूर्णतया विभक्त होगी।

 जैसे :

 8 , 12 , 18 , 68 , 124 , 5788 , 67892 , 523836 , 125784 , 5789096 आदि।

3 से विभक्त होने के नियमः 

यदि दी गई संख्या के सभी अंकों का योग 3 से पूर्णतया विभक्त हो जाये तो वह संख्या 3 से पूर्णतया विभक्त होगी

जैसे : 

(1) संख्या 2562 :  इसके अंकों का योग = ( 2+5+6+2 ) = 15 , जो 3 से पूर्णतया विभक्त होता है।अत : दी गई संख्या 2562 पूर्णतया 3 से विभक्त होगी।

( 2 ) संख्या 9562791 :  इसके अंकों का योग = ( 9+5+6+2+7+9+1 ) = 39 , जो 3 से पूर्णतया विभक्त होती है।अत : दी गई संख्या 9562791 पूर्णतया 3 से विभक्त होगी।

4 से विभक्त होने का नियमः 

कोई दी गई संख्या 4 से विभक्त तभी होगी जब उसके दहाई और इकाई अंकों से बनी संख्या 4 से पूर्णतया विभक्त हो।

जैसे : 

संख्या 25724:  इसके दहाई और इकाई अंकों से बनी संख्या 24 है , जो 4 से पूर्णतया विभक्त होगी है।अतः दी गई संख्या 25724 पूर्णतया 4 से विभक्त होगी।

5 से विभक्त होने का नियमः 

यदि किसी दी गई संख्या का इकाई अंक 5 अथवा 0 हो, तो वह संख्या 5 से पूर्णतया विभक्त होगी।
जैसे :465 , 3515 , 5680 तथा 6280 आदि।

7 से विभक्त होने का नियमः 

यदि इकाई अंक को छोड़कर शेष बची संख्या में मे इकाई का दुगुना घटा देने के बाद बची संख्या 7 से विभक्त हो , तो दी संख्या 7 से विभक्त होगी।

जैसेः 

संख्या 357:  ( 35 - 2×7 ) = 21 जो 7 से पूर्णतया विभक्त होती है। अत: 357 भी 7 से पूर्णतया विभक्त होगी।

8 से विभक्त होने का नियमः

कोई दी गई संख्या 8 से विभक्त तभी होगी जब उसके सैंकड़े , दहाई तथा इकाई अंकों से बनी संख्या 8 से पूर्णतया विभक्त हो।

जैसेः 

संख्या 3456:  इसके सैंकडे , दहाई और इकाई अंकों से बनी संख्या 456 है जो 8 से पूर्णतया विभक्त होती है।अतः दी गई संख्या 8 से पूर्णतया विभक्त होगी।

9 से विभक्त होने का नियम:

यदि किसी दी गई संख्या के सभी अंकों का योग 9 से पूर्णतया  विभक्त हो , तो दी गई संख्या 9 से पूर्णतया विभक्त होगी।

जैसे: 

संख्या 2556:  इसके अंकों का योग = ( 2+5+5+6 ) =18, जो 9 से पूर्णतया विभक्त होता है। अत: दी गयी संख्या 2556 पूर्णतया 9 से विभक्त होगी।

11 से विभक्त होने का नियम:

कोई दी गई संख्या 11 तभी विभक्त होगी जब कि इकाई से बायीं ओर चलने सम स्थानों के अंकों के योग तथा विषम स्थानों के अंकों के योग का अन्तर 0 हो अथवा 11 से पूर्णतया विभक्त हो।

जैसेः

 सख्या 37521:  (सम स्थानों के अंको का योग) -(विषम स्थानों के अंको का योग)
=(2+7)-(1+5+3)
=0
अत: दी गई संख्या 37521 पूर्णतया 11 से विभक्त होगी।

13 से विभक्त होने का नियम:

किसी संख्या की 13 से विभाज्यता की जांच करने के लिए क्रम से उसके इकाई , दहाई , सेकड़े , हजार , दस हजार , लाख , . . . वाले अंकों में - 1 , 3 , 4 , 1 , -3 , - 4 , . . . का गुणा कर उनका योगफल ज्ञात कीजिए। यदि यह योगफल 13 से विभाज्य है तो दी हुई संख्या भी 13 से विभाज्य होगी ।

जैसे: 

संख्या 1066195 = 5 x (-1) + 9 x 3 + 1 X 4 + 6 x 1 + 6 x (-3) + 0 x (-4) + 1 ×(-1)
= - 5 + 27 + 4 + 6 - 18 + 0 - 1
= 13 जो 13 से विभाज्य है।
अतः दी हुई संख्या भी 13 से विभाज्य होगी। 

इस अध्याय के अन्तर्गत हम समस्त संख्याओं की जानकारी जैसे प्राकृतिक संख्याएँ , पूर्ण संख्याएँ , पूर्णाक संख्याएँ , परिमेय संख्याएँ , अपरिमेय संख्याएँ आदि , उनके अभिकलन ( Computation ) में प्रयुक्त होने वाली मौलिक संक्रियाओं तथा संख्याओं के मध्य पारस्परिक सम्बन्धों का अध्ययन किया जाता है। संख्या के पारस्परिक सम्बन्धों में हम विशिष्ट पद्धति के अनुसार , अनुप्रयोगों पर आधारित प्रश्नों को हल करते हैं ।

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संख्याओ के प्रमुख भाग (Important types of Numbers) - 

1 . प्राकृतिक संख्याएँ ( Natural Numbers ) 

 2 . पूर्ण संख्याएं ( Whole Numbers ) 

 प्राकृतिक संख्याओं में ' 0 ' ( शून्य ) को भी सम्मिलित कर लेने पर प्राप्त समस्त संख्याए पूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं ।

 ध्यान रहे सभी प्राकृतिक संख्याएँ , तो पूर्ण संख्याएँ हैं लेकिन सभी पूर्ण संख्याएँ , प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं । 

3 . पूणांक ( Integer )  

पूर्ण संख्याओं में जब ऋणात्मक संख्याओं को भी सम्मिलित कर लिया जाता है , तो वे पूर्णांक कहलाते हैं । जैसे - . . . . - 5 , - 4 , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . . . इत्यादि ।

 4 . सम संख्याएँ ( Even Numbers ) 

अंक 2 से पूर्णतः विभाजित हो जाने वाली प्राकृतिक संख्याओं को सम संख्याएँ कहते हैं । जैसे - 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 इत्यादि ।

 5 . विषम संख्याएँ ( Odd Numbers ) 

अंक 2 से पूर्णतः विभाजित न होने वाली प्राकृतिक संख्याओं को विषम संख्याएँ कहते हैं। जैसे - 1 , 3 , 5 , 7 इत्यादि ।

 6 . परिमेय संख्याएँ ( Rational Numbers ) 

 वे संख्याएँ जिनको p/q के रूप में प्रदर्शित किया जा सके , परिमेय संख्याएँ कहलाती हैं । यहाँ p तथा q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0
जैसे - 3/2 ,5/7,4 , 5 , - 2 , 1 , -5 ,-2/5 इत्यादि ।

  7 . भाज्य संख्याएँ(Composite Numbers ) 

 ये 1 से बड़ी वे प्राकतिक संख्याएँ है जो स्वयं के अतिरिक्त कम - से - कम एक और संख्या से विभाजित हो सकती हैं और ये भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं । जैसे - 4 , 6 , 9 , 15 इत्यादि ।

  8 . अभाज्य सख्याए ( Prime Numbers ) 

 ये 1 से बड़ी वे प्राकतिक संख्याएँ हैं जो स्वयं तथा 1 के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या से विभाजित नहीं हो सकतीं और ऐसी संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं । जैसे - 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 इत्यादि ।

 9 . सह - अभाज्य संख्याएँ ( Co - prime Numbers ) 

 वे दो संख्याएँ , जिनमें 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड न हो , सह - अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं । जैसे - 8 और 15 , इनमें 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है ।

10 . अपरिमेय संख्याएँ (  Irrational Numbers) 

 वे संख्याएँ जिनको p/q के रूप में प्रदर्शित न किया जा सके या p तथा q पूर्णांक न हों , ऐसी संख्याएँ अपरिमेय कहलाती हैं । जैसे - √3, √5, 1/√7, 1/√2, π इत्यादि ।

  11 . वास्तविक संख्याएँ ( Real Numbers )  

 परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के समूह को वास्तविक संख्याएँ कहते हैं ।

 12 . काल्पनिक या अवास्तविक संख्याएँ ( Imaginary Numbers ) 

 13 . द्विआधारी संख्याएँ ( Binary Numbers ) 

वे संख्याएँ जो शून्य एवं एक से निर्मित होती हैं , द्विआधारी संख्याएँ कहलाती हैं ।

 14 . दाशामिक संख्याएँ ( Decimal Numbers ) 

 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 तक की संख्याओं या अंकों को दाशमिक संख्याएँ कहते हैं ।

                 मापन ( Measurement ) -

मापन की परिभाषा ( Defination of Measurement) -

किसी भौतिक राशि के मात्रक की सहायता से उसके परिमाण को अंको मे व्यक्त करने को मापन कहते है ।

मापन की उपयोगिता( Use of Measurement)-

दैनिक जीवन मे मापन बहुत महत्वपूर्ण (Important) है। हम इसे अपने दैनिक जीवन मे साधारणत: माप तोल के लिए प्रयोग करते है। इसके बिना दैनिक जीवन मे समस्या ही समस्या है।
 इन्हे अनेक पद्धति मे मापा जाता है। जिनकी चर्चा हम नीचे करेगे।

लंबाई का मापन -

मीट्रिक पद्धती मे लंबाई की माप-

10 मिलीमीटर = 1 सेन्टीमीटर
 10 सेन्टीमीटर = 1 डेसीमीटर
 10 डेसीमीटर = 1 मीटर
10 मीटर = 1 डेकामीटर
10 डेकामीटर = 1 हेक्टोमीटर
10 हेक्टोमीटर = 1 किलोमीटर
1 मीटर = 100 सेन्टीमीटर
 1 किलोमीटर = 1000 मीटर

अंग्रेजी पद्धती मे लंबाई की माप-

12 इंच = 1 फीट
 3 फीट = 1 गज
1760 गज = 1 मील

भार का मापन-

मीट्रिक पद्धति मे भार की माप-

10 मिलीग्राम = 1 सेन्टीग्राम
 10 सेन्टीग्राम = 1 डेसीग्राम
 10 डेसीग्राम = 1 ग्राम
 10 ग्राम = 1 डेकाग्राम
10 डेकाग्राम = 1 हेक्टोग्राम
 10 हेक्टोग्राम = 1 किलोग्राम
10 किलोग्राम = 1 मिरियाग्राम
10 मिरियाग्राम = 1 क्विंटल
 10 क्विंटल = 1 टन

अंग्रेजी पद्धति में भार की माप-

 16 औंस = 1 पाउण्ड
1 पाउण्ड = 454 ग्राम ( लगभग )

क्षेत्रफल की माप-

मीटिक पद्धति में क्षेत्रफल की माप-

100 वर्ग मिलीमीटर = 1 वर्ग सेन्टीमीटर
100 वर्ग सेन्टीमीटर = 1 वर्ग डेसीमीटर
100 वर्ग डेसीमीटर = 1 वर्ग मीटर
100 वर्ग मीटर = 1 वर्ग डेकामीटर
100 वर्ग डेकामीटर = 1 वर्ग हेक्टोमीटर
100 वर्ग हेक्टोमीटर = 1 वर्ग किलोमीटर

आयतन की माप-

 मीट्रिक पद्धति में आयतन की माप -

1000 घन मिलीमीटर = 1 घन सेन्टीमीटर
1000 घन सेन्टीमीटर = 1 घन डेसीमीटर
1000 घन डेसीमीटर = 1 घन मीटर
1000 घन मीटर = 1 घन डेकामीटर
1000 घन डेकामीटर = 1 घन हेक्टोमीटर
1000 घन हेक्टोमीटर = 1 घन किलोमीटर
मीट्रिक पद्धति में तरल पदार्थ (liquid) के आयतन की माप-
 10 मिलीलीटर = 1 सेन्टीलीटर
 10 सेन्टीलीटर = 1 डेसीलीटर
 10 डेसीलीटर = 1 लीटर
 10 लीटर = 1 डेकालीटर
 10 डेकालीटर = 1 हेक्टोलीटर
 10 हेक्टोलीटर = 1 किलोलीटर
 1000 मिलीलीटर = 1 लीटर

अंग्रेजी तथा मीट्रिक पद्धति में सम्बन्ध -

1 इंच = 2.54 सेन्टीमीटर
1 मीटर = 39.37 इंच = 1.0936 गज
1 फीट = 0.3048 मीटर = 30.48 सेन्टीमीटर
1 गज = 0.9144 मीटर = 91.44 सेन्टीमीटर
1 मील = 8/5 किलोमीटर
8 किलोमीटर = 5 मील
1 डेसीमीटर = 4 इंच ( लगभग )
1 लीटर = 0.22 गैलन
1 गैलन = 4.55 लीटर
1 वर्ग सेन्टीमीटर = 0.155 वर्ग इंच
 1 वर्ग मीटर = 10.764 वर्ग फीट = 1.196 वर्ग गज
 1 हेक्टेयर - 2.47 एकड़
 1 वर्ग मील = 2.5921 वर्ग किलोमीटर

 समय की माप-

 60 सेकण्ड = 1 मिनट
 60 मिनट = 1 घण्टा
 24 घण्टा = 1 दिनरात
 7 दिन = 1 सप्ताह
 30 दिन = 1 माह ( सामान्यतः )
 365 दिन 1 वर्ष ( सामान्यतः )
 366 दिन = 1 लीप वर्ष
 12 महीना = 1 वर्ष
52 सप्ताह = 1 वर्ष
12 वर्ष = 1 युग
 100 वर्ष = 1 शताब्दी
 जनवरी = 31 दिन
 फरवरी = 28 ( सामान्य ) / 29 दिन ( लीप वर्ष )
 मार्च = 31 दिन
 अप्रैल = 30 दिन
 मई = 31 दिन
 जून = 30 दिन
 जुलाई = 31 दिन
 अगस्त = 31 दिन
 सितम्बर = 30 दिन
 अक्टूबर = 31 दिन
 नवम्बर = 30 दिन
 दिसम्बर = 31 दिन